AI 破解流体力学百年经典难题

我们的新方法可以帮助数学家利用人工智能技术来应对数学、物理和工程领域中的长期挑战。

几个世纪以来，数学家开发了复杂的方程来描述流体动力学中涉及的基础物理。这些规律控制着从飓风的旋涡到气流托起飞机机翼的一切现象。

专家可以精心设计一些场景，使理论与实践相悖，导致在物理上不可能发生的情况。这些情况，比如速度或压力等量变为无穷的时候，被称为"奇点"或"爆炸"。它们帮助数学家识别流体动力学方程的基本局限，并帮助我们更好地理解物理世界如何运作。

在一篇新论文中，我们为描述流体运动的一些最复杂方程引入了一个全新的数学爆炸族。我们与来自布朗大学、纽约大学和斯坦福大学等机构的数学家和地球物理学家合作发表了这项工作。

我们的方法呈现了一种新的方式来利用人工智能技术来解决数学、物理和工程领域中要求前所未有的精度和可解释性的长期挑战。

不稳定奇点的重要性

稳定性是奇点形成的关键方面。如果奇点对微小变化具有鲁棒性，则认为它是稳定的。相反，不稳定的奇点需要极其精确的条件。

数学家相信复杂的无边界 3D Euler 和 Navier-Stokes 方程不存在稳定奇点，因此预期不稳定奇点在流体动力学基础问题中扮演重要角色。在 Navier-Stokes 方程中找到任何奇点是仍未解决的六个著名千禧年大奖问题之一。

通过我们的新型人工智能方法，我们首次系统地发现了三个不同流体方程中不稳定奇点的新族。我们还观察到随着解变得越来越不稳定，出现了一种模式。表征爆炸速度的数字 lambda（λ）可以与不稳定阶数（解可能偏离爆炸的独特方式的数量）相对比。该模式在我们研究的两个方程——不可压缩多孔介质（IPM）和 Boussinesq 方程中可见。这表明存在更多不稳定解，其假设的 lambda 值沿着同一条线分布。

我们通过结合机器学习技术（如用于训练神经网络的二阶优化器）发现了这些奇点。这些方法使我们能够将精度提升到前所未有的水平。作为参考，我们解决的最大误差相当于在几厘米范围内预测地球直径。

这里我们展示了在所研究的一个方程中发现的涡度（Ω）场的一个例子。这是流体在每个点旋转量的衡量。

我们还展示了沿着轴穿过相同场的一维切片，用于所有我们发现的不稳定性，显示越来越不稳定奇点的演变。

新方法在广袤的奇点景观中导航

我们的方法基于物理信息神经网络（PINNs）的使用。与从庞大数据集中学习的传统神经网络不同，我们训练模型以匹配模拟物理规律的方程。网络的输出不断与物理方程期望的结果进行检查，它通过最小化"残差"（其解不满足方程的量）来学习。

我们对 PINNs 的使用超越了它们作为用于求解偏微分方程（PDEs）的通用工具的典型角色。通过直接在训练中嵌入数学洞察，我们能够捕获难以捉摸的解——如不稳定奇点——这些解长期以来一直对传统方法构成挑战。

与此同时，我们开发了一个高精度框架，将 PINNs 推至接近机器精度，实现了严格的计算机辅助证明所需的精度水平。

计算机辅助数学的新时代

这一突破代表了进行数学研究的新方式，结合了深刻的数学洞察和尖端人工智能。我们很高兴看到这项工作帮助开启一个新时代，其中长期挑战通过人工智能和计算机辅助证明来应对。

这项工作是以下人员的共同努力：Yongji Wang、Mehdi Bennani、James Martens、Sébastien Racanière、Sam Blackwell、Alex Matthews、Stanislav Nikolov、Gonzalo Cao-Labora、Daniel S. Park、Martin Arjovsky、Daniel Worrall、Chongli Qin、Ferran Alet、Borislav Kozlovskii、Nenad Tomašev、Alex Davies 和 Pushmeet Kohli

Tristan Buckmaster、Bogdan Georgiev、Javier Gómez-Serrano、Ray Jiang 和 Ching-Yao Lai。

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