AI攻克埃尔德什猜想：数学难题的AI证明突破

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2026年5月20日，OpenAI 宣布了一条震撼数学界的消息。一款内部 AI 模型——尚未对公众发布——找到了"单位距离"问题的一个反例，该猜想由保罗·埃尔德什（Paul Erdős）于1946年提出。埃尔德什是匈牙利数学家，产量惊人，居无定所。

埃尔德什提出了数以千计的问题，但这个问题尤为特别：它既容易解释，又在数学上极具深度。这是首个来自 AI 模型的历史性证明。虽然该模型的结果并非定论——人类数学家将在几周内对其进行大幅改进——但它具有创新性，引入了一个遥远数学分支的思想，此前无人能成功将这一思想应用于这个问题。而且它影响深远：几天之内，相关技术就被用来解决其他重要问题。

随后在8月1日，OpenAI 宣布一款名为 Astra 的未发布模型取得了10项额外的数学进展，其中包括解决了埃尔德什提出的另外三个问题。

许多数学家将这些进展誉为 AI 数学能力的相变。普林斯顿大学的诺加·阿里通（Noga Alon）表示，这些模型正在"深刻改变数学研究的方式"。在他数十年的职业生涯中，他已解决了数十个埃尔德什问题。

埃尔德什及其猜想长期以来一直吸引着数学家。他四处奔波——多年居无定所，靠朋友们接待，几乎一无所有。他在发表的论文和寄给世界各地数学家的信件中抛出问题，往往附上自掏腰包的奖金，奖励第一个给出解答的人。奖金可能是象征性的10美元或25美元，对于他认为重要或困难的问题，奖金可达数千美元。1996年，埃尔德什在华沙参加数学会议时因心脏病发作去世，但位于爱荷华州的一个非营利基金会承诺将兑现他的悬赏。

他是一个受人爱戴的人物，但也是一个相当古怪的人。他只穿丝绸，避开与他人的身体接触。他对权威持深深的不信任态度，将大部分收入捐出，靠一位朋友管理他的财务和其他实际事务。他把上帝称为"最高法西斯"，靠持续服用安非他明来维持其不断的数学产出。历史上一个奇怪的讽刺是，他提出的问题如今已成为世界上最大、最强大的科技公司的核心试验场——实际上也是一系列公关攻势。

但很可能如果没有一位名叫托马斯·布鲁姆（Thomas Bloom）的英国数学家，这一切都不会发生。

与埃尔德什一样，布鲁姆对数论和组合学都有兴趣。他的研究方向是一个叫做算术组合学的领域，位于两者的交汇处。2014年获得博士学位后，布鲁姆已成为该领域一颗冉冉升起的新星，获得了英国皇家学会 prestigious fellowship，使他几乎可以在任何他想去的大学工作。（他现在在曼彻斯特大学。）

布鲁姆记得自己一直很喜欢埃尔德什的风格。但，他一直觉得很难追踪哪些问题已被解决、哪些已被完全遗忘。于是，在2023年初，他决定将尽可能多的问题收集成一个列表。

他原本是为自己使用的。但他说："我想如果无论在哪里都能访问它会更方便。"他觉得"不如做个网站，虽然预期可能是没有人会用。"他收集了大约两百个问题，上线了 erdosproblems.com。布鲁姆使用 ChatGPT 编写了运行网站的 Python 代码，在当时，这对于一个大语言模型来说是一项了不起的能力。用它来合作研究数学本身似乎仍然只是一个遥远的前景。

他的目标不仅仅是划掉列表上的项目。他想知道"现代数学通常使用埃尔德什不知道的技术，能否解决这些更晦涩的问题"，他在博客中写道。"那么我们将只剩下一些有趣的、困难的问题，它们可以展示我们知识的边界。"

布鲁姆在整理列表方面做了关键性工作：有时埃尔德什表述问题的方式含糊不清，布鲁姆需要弄清楚每个问题最合理的版本是什么。他不断向网站添加问题，观众也逐渐增加。在2024年全年和2025年前八个月里，列表上111个问题的状态从"开放"变为"已解决"（尽管其中一些问题多年前就已解决，其状态变更反映的是对证明的重新发现或验证）。

然后，在2025年8月，一些同事建议布鲁姆添加评论功能，这样人们就可以讨论他们感兴趣的问题。他能够快速实现，用 ChatGPT 编写了代码。到那时他已经编目了近1000个问题。

布鲁姆的时机很好。他使志同道合的人能够相互交流，这"真正让一个社区建立起来了"，他说。在大多数情况下，评论是零星的——一个问题可能只吸引一条评论，指出一个例子或说明这个问题看起来有多难。但活动稳步增长，有些问题引发了陌生人之间细致的数学讨论。

"汤姆可能从来没有真正意识到这一点，但对我来说，这确实改变了我的生活，"沃outer van Doorn 说，他是布鲁姆网站上第四多产的评论者。像许多在2025年秋季在该网站活跃的人一样，van Doorn 并不完全是一个职业数学家。他的工作是"为其他公司做客户服务支持的公司工作"，正如他所说的。但他也并不完全是一个业余爱好者——十年前，他在比利时 KU Leuven 几乎完成了数学硕士学位。2024年，部分出于他看到 LLM 能力越来越强，他请了六个月的假专注于数学。当时，虽然他并不特别想使用 AI，但他记得自己的想法："现在我仍然比 AI 更擅长数学，但谁知道一年、两年、五年后会怎样？如果我想完成这些项目，我想让它们属于我自己，现在就是时候。"

于是，2025年10月，van Doorn 现在已回到日常工作，在问题1102的页面留下了第一条评论。这个问题由埃尔德什在1981年提出，问的是"无平方"整数集合的性质——即没有重复质因子的整数。（例如，30是无平方的，因为它等于2×3×5，但18不是，因为它等于2×3×3；3重复了。）

11月初，van Doorn 在问题页面上分享了答案的进展——这是他不依赖 AI 解决的。

当天晚些时候，网站上的另一位评论者回复称，他在 van Doorn 的论证中发现了一个缺陷。两人你来我往地快速交流，van Doorn 说服了他的对话者他的论证是正确的。"我现在明白你的论证是如何成立的了。很漂亮！"另一位数学家回复道。那位数学家是陶哲轩（Terence Tao），加州大学洛杉矶分校的教授，可以说是当今最著名的数学家，毋庸置疑也是最具影响力的一位。（值得一提的是，陶哲轩年仅10岁时就与埃尔德什有过交集。）

布鲁姆的网站有着早期互联网的外观和感觉，正在成为民主互联网最好的例证。"如果没有汤姆的网站和评论区，这种合作完全不可能，" van Doorn 说。无论你是否拥有终身职位，无论你年轻还是年长，无论你在名牌大学还是没有大学，统统不重要。如果你想从事数学研究并有好点子，你就能找到合作者。

但随着冬天的来临——大约在 van Doorn 发现自己在与陶哲轩合作的同时——事情开始发生变化。

通往十字路口的旅程

Kevin Barreto 和 Liam Price，两个二十岁出头的年轻人，2025 年夏天在一个专注 AI 的 Discord 服务器上相识。Barreto 目前是剑桥大学的本科生；Price 曾在大学读过一些数学课程，但未完成学业。去年 12 月，他们确信最新的 AI 模型或许能够解决一些 Erdős 问题，于是开始批量向它们抛出问题。他们很早就发现，如果告诉 GPT-5.2 某个问题的答案尚属未知，模型就很难取得进展——用 Barreto 的话说，他们学会了如何"以非常特定的方式提示它，欺骗它认为问题比实际更简单"。

他们以为自己第一次取得胜利是在 Erdős 问题 333 上。圣诞节清晨，Barreto 在 Bloom 的网站上发布了一份证明，写道："据我们所知，这是 LLM 首次完全自主解决一个此前未被人类攻克的 Erdős 问题。"尽管 333——涉及整数集合的和——并非特别重要的问题，但用 AI 解决它仍然意义重大。

但几小时后，另一位用户指出 Erdős 本人在 1977 年发表的一篇论文中已经给出了 333 的解答。Barreto 承认了错误。"我正式请求网站所有成员更加重视对当前标记为开放状态的问题进行文献检索，"他写道。"作为一个已经因此犯过两次错误的人，这实在令人痛心。"

他没有气馁，与 Price 继续坚持，到 2026 年 1 月 4 日，他们用 GPT-5.2 Pro 找到了 Erdős 728 的解答——一个关于某些数字何时能被其他数字整除的问题。这一次没有人能找到预先存在的证明。Barreto 用另一个名为 Aristotle 的 AI 工具（由一家名为 Harmonic 的初创公司开发）来验证该证明在逻辑上是否成立。Nat Sothanaphan 是一名软件工程师，也是论坛上仅次于 Bloom、Tao 和 van Doorn 的最高产参与者，他让 ChatGPT 整理了形式化的结果并发布到网上。

Price 形成了一套如何让 LLM 解决开放问题的方法论。首先，他会向聊天机器人请求一个解答。然后，他将那个解答输入到一个全新的聊天机器人实例中，让它检查前一个聊天机器人的工作。他会重复这个过程，直到得到一个看起来可行的解答。（这与一些公司在内部所做的工作如出一辙，他们称之为创建"测试工具"或"脚手架"，即自动化 Price 手工所做的这种迭代过程。）

Barreto 和 Price 的论文只是过去几个月里被 AI 至少部分解决的众多 Erdős 问题中的一小部分。这些问题之所以特别成为 LLM 的沃土，有多重原因。首先，Erdős 问题主要集中在数论、组合学和图论，这些数学领域已被证明对大型语言模型相对更友好。此外，这些问题的难度和数学意义差异很大。这种多样性使得它们适合用于能力同样差异很大的新兴技术。

Erdős 的许多问题从诞生之初就附有现金悬赏——这是这位游荡的怪人对解谜者的一种趣味激励。但如今，随着这些问题成为 AI 的非正式基准，它们的解决方案正以"单问题成本"来衡量——即解决它们所需的 token 费用。照片由 George Csicsery 拍摄，来源于纪录片 N is a Number: A Portrait of Paul Erdős ©1993。版权所有。

许多 Erdős 问题从诞生之初就附有现金悬赏。但如今，随着这些问题成为 AI 的非正式基准，它们的解决方案正以"单问题成本"来衡量。

照片由 George Csicsery 拍摄，来源于纪录片 N is a Number: A Portrait of Paul Erdős ©1993。版权所有。

"我最近的许多论文应该主要归功于 AI，"van Doorn 说。"其中涉及的创意并非我自己想出来的。"与许多活跃在 Erdős 网站上的人一样，van Doorn 对 LLM 让他能够更快地做更多事情感到兴奋。"如果我读到一个 LLM 的创意，我会消化它、尝试理解它、简化它，然后推广它，"他说。他用 AI 来更好地理解数学。

并非每个人都以这种标准要求自己。"一个大问题是 AI 被很多人大量使用，但他们不是数学家，没有深厚的数学背景，也无法验证输出，"Bloom 说。"他们喜欢快速推进，让 AI 检查，产出越来越多。我们现在看到很多 100 到 200 页的论文被发布出来。'我解决了这个定理；我让 AI 生成了证明并检查了证明并写了论文。'但没有人读过，也没有人会去读。这是一个巨大的挑战。"

按照 Price 自己的评估，他的数学理解力不足以验证他最终从 LLM 中诱导出的解答。但在 Barreto 的帮助下，他找到了具备相关知识且愿意核查结果的数学家。Price 和 Barreto 与 Tao、斯坦福大学的 Jared Duker Lichtman 以及其他杰出数学家共同撰写了一篇 2026 年 5 月的论文，解决了 Erdős 问题 1196——这是他们最重要的成果之一。（1196 询问的是所谓的原始集合（primitive sets）——如集合 {2, 5, 9, 21}，即没有数字能整除另一个数字的整数集合——可能的大小。）

令 Bloom 惊讶的是，尽管 OpenAI、Google DeepMind 和多家初创公司给予了大量关注，大多数新结果都来自使用公开可用 LLM 的业余爱好者和大学生的本科生，而非使用更先进内部模型的企业实验室。

但几周后的 2026 年 5 月 20 日，这种情况发生了改变——OpenAI 宣布解决了有史以来最著名的 Erdős 问题之一：单位距离问题。

2026 年初，几家大型科技公司开始在 erdosproblems.com 上看到机会。正如 Lichtman 解释的："Erdős 有超过 1000 篇论文。它们散落各处。"匈牙利的一个机构收集了许多论文的扫描图像，但没有人把它们全部整理。"这种任何人都可以访问的单一仓库——实验室意识到这实际上可以作为一个基准。"

今年 1 月，一个由 Google DeepMind 领导的 24 人研究团队分享了一篇论文，在"使用 Gemini 系统性地评估 Bloom 的 Erdős 问题数据库中标记为'开放'的 700 个猜想"后，解决了四个问题并找到了九个问题的古老、被遗忘的解决方案。今年 5 月，另一个 DeepMind 的 21 人研究团队宣布："我们最有能力的智能体以每个问题几百美元的成本自主解决了 353 个开放 Erdős 问题中的 9 个。"（在本文发表时，Bloom 的数据库包含 565 个已解决问题和 652 个开放问题，但 DeepMind 团队将搜索范围缩小到了用形式逻辑书写的问题。）

此外，OpenAI 于 5 月 20 日分享了单位距离问题的解决方案，并附带一篇博文解释这项工作，以及一篇合著论文，其中包含九位世界级数学家对证明正确性和所做工作重要性的评论（以及一份更精简的人类版本结果）。数学家们普遍认为 Erdős 的这个猜想——关于可以在平面上放置多少个等距点——是正确的。令大家惊讶的是，OpenAI 的内部模型找到了一个反例。为此，它找到了一种巧妙的方式来运用被称为代数数论的数学分支中的工具。多伦多大学的 Jacob Tsimerman 在合著文章中写道："这确实是一项令人印象深刻的工作。……这绝对是一个令人生畏的构造。"

在同一篇文章中，剑桥大学和法兰西学院的 Tim Gowers 写道："如果一个人写了这篇论文并提交给《数学年鉴》，让我快速评审，我会毫不犹豫地推荐接受。此前没有任何 AI 生成的证明能接近这个水平。"

提交原始解决方案的论文作者只简单地写着"OpenAI"。

Terence Tao 10 岁时见到了 Erdős。Billy Grace Tao

Terence Tao 10 岁时见到了 Erdős。

后来，利用与 AI 模型解决单位距离问题时所采用的技巧相关的技术，一个由四人组成的数学家团队（包括 Bloom）证伪了另一个长期悬而未决的 Erdős 猜想的某个版本。「和-积」猜想提出，如果你有一组数字集合，它们的和或积必须快速增长。数学家们找到了一组实数，其和与积的增长都比预期要慢。整数版本的猜想仍然悬而未决。

弄清楚 AI 将对数学和数学家产生怎样的影响，不仅需要关注其最重要的成果，还需要审视它如何改变解决日常问题的常规实践。普林斯顿数学家 Noga Alon 估计，在他职业生涯中已经解决了数十个 Erdős 问题。他现在已经停止尝试。「一旦 AI 开始解决它们，就再也没有意义了，」他说道。Terry Tao 已经退出 Erdős 问题社区，专注于完成手头的工作。

目前仍在客服公司做本职工作的 Van Doorn 表示，LLM「在思考和做数学方面明显比我强。我远不及当前的 AI 系统。」然而他又补充道，「但我最终写出的证明更简单、更通用，对其他人来说也更容易阅读，比 ChatGPT 给出的东西更清晰。」AI 无疑提升了他的生产力，而他仍然乐在其中。「如果你想弹钢琴，你不会雇一台比你弹得更好的钢琴机器。你弹钢琴是因为你喜欢弹钢琴。我喜欢思考数字、做数学、写论文。我不会雇一台替我写论文的造纸机器。」

对 Van Doorn 来说，消化从 LLM 那里获得的响应本身就是一种乐趣。「最近我因为 Erdős 问题社区做了很多数学工作。以前我事事亲力亲为，独自在房间里苦思冥想。不知道从什么时候开始，现在人们会联系我，说，『我有个想法，你想不想一起来想想？』」

AI 能力的不断增强，让 Price 或 Van Doorn 这样数学训练较少的人更容易解决谜题，同时也让 Alon 这样毕生致力于理解这些问题的人觉得这些谜题不再那么有趣了。

尽管如此，「许多（也许是大多数）优秀的数学家都会使用 AI，」Alon 说。他指出，许多一流数学家已经离开学术界进入 AI 公司工作，这不仅是因为他们薪酬丰厚，还因为「也许那里才是现在的战场。」2026 年 7 月，就在 Tsimerman 获得数学界最高荣誉——菲尔兹奖的同一天，他宣布离开学术界，加入 OpenAI。

2026 年菲尔兹奖与阿贝尔奖

在数学世界中充实地生活意味着走钢丝

有时，成为第一意味着比任何人更早看到终点