# 前置知识：完全二叉树

完全二叉树是指同时满足下面两个条件的二叉树：

从第一层到倒数第二层，每一层都是满的，也就是说每一层的结点数都达到了当前层所能达到的最大值
最后一层的结点是从左到右连续排列的，不存在跳跃排列的情况（也就是说这一层的所有结点都集中排列在最左边）。

完全二叉树可以是这样的：

也可以是这样的：

但不能是这样的：

更不能是这样的：

注意，完全二叉树中有着这样的索引规律：假如我们从左到右、从上到下依次对完全二叉树中的结点从0开始进行编码：

那么对于索引为 n 的结点来说：

索引为 (n-1)/2 的结点是它的父结点
索引 2*n+1 的结点是它的左孩子结点
索为引 2*n+2 的结点是它的右孩子结点

# 什么是堆

堆是完全二叉树的一种特例。根据约束规则的不同，堆又分为两种：

大顶堆
小顶堆

如果对一棵完全二叉树来说，它每个结点的结点值都不小于其左右孩子的结点值，这样的完全二叉树就叫做“大顶堆”：

若树中每个结点值都不大于其左右孩子的结点值，这样的完全二叉树就叫做“小顶堆”

# 堆的基本操作：以大顶堆为例

大顶堆和小顶堆除了约束条件中的大小关系规则完全相反以外，其它方面都保持高度一致。现在我们以大顶堆为例，一起来看看堆结构有哪些玩法。

这里我给出一个现成的大顶堆：

很多时候，为了考察你对完全二叉树索引规律的掌握情况，题目中与堆结构同时出现的，还有它的层序遍历序列：

[9, 8, 6, 3, 1]

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我们需要关注的动作有两个：

如何取出堆顶元素（删除操作）
往堆里追加一个元素（插入操作）

至于堆的初始化，也只不过是从空堆开始，重复执行动作2而已。因此，上面这两个动作就是堆操作的核心。

# 取出堆顶元素

取出元素本身并不难，难的是如何在删除元素的同时，保持住队的“大顶”结构特性。为了做到这点，我们需要执行以下操作：

用堆里的最后一个元素（对应图中的数字1）替换掉堆顶元素。
对比新的堆顶元素（1）与其左右孩子的值，如果其中一个孩子大于堆顶元素，则交换两者的位置：

交换后，继续向下对比1与当前左右孩子的值，如果其中一个大于1，则交换两者的位置：

重复这个向下对比+交换的过程，直到无法继续交换为止，我们就得到了一个符合“大顶”原则的新的堆结构：

上述这个反复向下对比+交换的过程，用编码实现如下（仔细看注释）：

// 入参是堆元素在数组里的索引范围，low表示下界，high表示上界
function downHeap(low, high) {
    // 初始化 i 为当前结点，j 为当前结点的左孩子
    let i=low,j=i*2+1 
    // 当 j 不超过上界时，重复向下对比+交换的操作
    while(j <= high) {
        // 如果右孩子比左孩子更大，则用右孩子和根结点比较
        if(j+1 <= high && heap[j+1] > heap[j]) {
            j = j+1
        }
        
        // 若当前结点比孩子结点小，则交换两者的位置，把较大的结点“拱上去”
        if(heap[i] < heap[j]) {
            // 交换位置
            const temp = heap[j]  
            heap[j] = heap[i]  
            heap[i] = temp
            
            // i 更新为被交换的孩子结点的索引
            i=j  
            // j 更新为孩子结点的左孩子的索引
            j=j*2+1
        } else {
            break
        }
    }
}

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# 往堆里追加一个元素

当添加一个新元素进堆的时候，我们同样需要考虑堆结构的排序原则：

新来的数据首先要追加到当前堆里最后一个元素的后面。比如我现在要新增一个10，它就应该排在最后一层的最后一个位置：

不断进行向上对比+交换的操作：如果发现10比父结点的结点值要大，那么就和父结点的元素相互交换，再接着往上进行比较，直到无法再继续交换为止。首先被比下去的是值为6的直接父结点：

接着继续往上找，发现10比根结点9还要大，于是继续进行交换：

根结点被换掉后，再也无法向上比较了。此时，我们已经得到了一个追加过数字10的新的堆结构：

上述这个反复向上对比+交换的过程，用编码实现如下（仔细看注释）：

// 入参是堆元素在数组里的索引范围，low表示下界，high表示上界
function upHeap(low, high) {
    // 初始化 i（当前结点索引）为上界
    let i = high  
    // 初始化 j 为 i 的父结点
    let j = Math.floor((i-1)/2)  
    // 当 j 不逾越下界时，重复向上对比+交换的过程
    while(j>=low)  {
        // 若当前结点比父结点大
        if(heap[j]<heap[i]) {
            // 交换当前结点与父结点，保持父结点是较大的一个
            const temp = heap[j] 
            heap[j] = heap[i]  
            heap[i] = temp
            
            // i更新为被交换父结点的位置
            i=j   
            // j更新为父结点的父结点
            j=Math.floor((i-1)/2)  
        } else {
            break
        }
    }
}

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上面这两个过程，需要大家反复理解、深刻记忆。尤其是要记住这几个关键字：“删除”就是“向下比较+交换”，而“添加”则是“向上比较+交换”。

这里写给大家的两段代码，在实战中具备一定的通用性。希望大家能够充分熟悉，在理解的基础上记忆。下次如果真的用到，争取能够默写。

# 堆结构在排序中的应用——优先队列

在认识优先队列之前，我们先来看一道题：

题目描述：在未排序的数组中找到第 k 个最大的元素。请注意，你需要找的是数组排序后的第 k 个最大的元素，而不是第 k 个不同的元素。

示例 1:

输入: [3,2,1,5,6,4] 和 k = 2
输出: 5

示例 2:

输入: [3,2,3,1,2,4,5,5,6] 和 k = 4
输出: 4

说明:你可以假设 k 总是有效的，且 1 ≤ k ≤ 数组的长度。

思路分析

这道题的诉求非常直接——要求你对给定数组进行排序。关于排序，我们在下一节会展开讲解N种排序算法的实现方式，包括快速排序、归并排序、选择排序等等。这些排序有一个共同的特点——在排序的过程中，你很难去明确元素之间的大小关系，只有在排序彻底完成后，你才能找出第 k 大的元素是哪个。

对整个数组进行排序、然后按顺序返回索引为k-1的元素，这正是笔者在面试场上写出的第一个解法：

/**
* @param {number[]} nums
* @param {number} k
* @return {number}
*/
const findKthLargest = function(nums, k) {
 // 将数组逆序
 const sorted = nums.sort((a,b)=> {
     return b-a
 })
 // 取第k大的元素
 return sorted[k-1]
};;

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是的，你没有看错，我甚至没有手动实现任何一个排序算法，而是直接调了 JS 的sort 方法。

大家不要笑，这个sort方法真的可以救命。如果你理解不了本节接下来要讲的基于堆结构的解法，又没信心记住后面两节涉及的各种各样的花式排序算法。那么你一定要紧紧抓住这个sort API。面试的时候，万一被问到“你为什么不会写xx排序算法”，这时候用一句“我用sort方法比较多，不喜欢自己造轮子”糊弄过去，还是有一定成功率的。

好了，学渣小剧场结束。我们继续来看这个题：有没有一种排序方法能够在不对所有元素进行排序的情况下，帮我们提前定位到第 k 大的元素是哪个呢？当然有——构建一个堆结构就能解决问题！

对于这道题来说，要想求出第 k 大的元素，我们可以维护一个大小为 k 的小顶堆。这个堆的初始化过程可以通过遍历并插入数组的前 k 个元素来实现。当堆被填满后，再尝试用数组的第 k+1 到末尾的这部分元素来更新这个小顶堆，更新过程中遵循以下原则：

若遍历到的数字比小顶堆的堆顶元素值大，则用该数字替换掉小顶堆的堆顶元素值
若遍历到的数字比小顶堆的堆顶元素值小，则忽略这个数字

仔细想想，为什么要这样做？假设数组中元素的总个数是 n，那么：

维护大小为 k 的小顶堆的目的，是为了确保堆中除了堆顶元素之外的 k-1 个元素值都大于堆顶元素。

当我们用数组的[0, k-1]区间里的数字初始化完成这个堆时，堆顶元素值就对应着前 k 个数字里的最小值。

紧接着我们尝试用索引区间为 [k, n-1]的数字来更新堆，在这个过程中，只允许比堆顶元素大的值进入堆。这一波操作过后，堆里的 k 个数字就是整个数组中最大的 k 个数字，而堆顶的数字正是这 k 个数中最小的那个。于是本题得解。

我们用示例中的[3,2,1,5,6,4]这个序列来模拟一下上面的过程。初始化一个规模为 k=2 的小顶堆，它长这样：

    2
   /
  3

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用[k, n-1]索引范围内的元素来更新这个小顶堆：首先是用索引为2的数字1来试，发现1比堆顶的2还要小，忽略它。接着用索引为3的5来试，5是比2大的，用它把2换掉：

    5
   /
  3

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经过向下对比+调整，新的堆长这样：

    3
   /
  5

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我们发现，现在这个堆里面保存的正是索引范围[0, 3]内的前 k 个最大的数。以此类推，当对数组中最后一个元素执行过尝试入堆的逻辑后，堆里面保存的就是整个数组范围内的前 k 个最大的数。

在解题的过程中，不出所料地用到了上文中提及的downHeap方法和upHeap 方法。不过大家千万不要直接复制粘贴，别忘了，前面我们是用大顶堆举例，这道题需要构造的是小顶堆——记得调整大小关系规则。

# 编码复盘

上面这个题解中出现的 heap 数组，就是一个优先队列。

优先队列的本质是二叉堆结构，它具有以下特性：

队列的头部元素，也即索引为0的元素，就是整个数组里的最值——最大值或者最小值
对于索引为 i 的元素来说，它的父结点下标是 (i-1)/2（上面咱们讲过了，这与完全二叉树的结构特性有关）
对于索引为 i 的元素来说，它的左孩子下标应为2i+1，右孩子下标应为2i+2。

当题目中出现类似于“第k大”或者“第k高“这样的关键字时，就是在暗示你用优先队列/堆结构来做题——这样的手法可以允许我们在不对序列进行完全排序的情况下，找到第 k 个最值

特殊的二叉树——堆结构及其在排序中的应用|算法篇

特殊的二叉树——堆结构及其在排序中的应用|算法篇