的莫过于堆排序了。堆排序是一种原地的、时间复杂度为 O(nlogn) 的排序算法。

前面我们学过快速排序，平均情况下，它的时间复杂度为 O(nlogn)。尽管这两种排序算法的时间复杂度都是 O(nlogn)，甚至堆排序比快速排序的时间复杂度还要稳定，但是，在实际的软件开发中，快速排序的性能要比堆排序好，这是为什么呢？

现在，你可能还无法回答，甚至对问题本身还有点疑惑。没关系，带着这个问题，我们来学习今天的内容。等你学完之后，或许就能回答出来了。

# 如何理解“堆”

前面我们提到，堆是一种特殊的树。我们现在就来看看，什么样的树才是堆。我罗列了两点要求，只要满足这两点，它就是一个堆。

堆是一个完全二叉树；

堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。

我分别解释一下这两点。

第一点，堆必须是一个完全二叉树。还记得我们之前讲的完全二叉树的定义吗？完全二叉树要求，除了最后一层，其他层的节点个数都是满的，最后一层的节点都靠左排列。

第二点，堆中的每个节点的值必须大于等于（或者小于等于）其子树中每个节点的值。实际上，我们还可以换一种说法，堆中每个节点的值都大于等于（或者小于等于）其左右子节点的值。这两种表述是等价的。

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作“大顶堆”。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作“小顶堆”。

定义解释清楚了，你来看看，下面这几个二叉树是不是堆？

其中第 1 个和第 2 个是大顶堆，第 3 个是小顶堆，第 4 个不是堆。除此之外，从图中还可以看出来，对于同一组数据，我们可以构建多种不同形态的堆。

# 如何实现一个堆？

要实现一个堆，我们先要知道，堆都支持哪些操作以及如何存储一个堆。

我之前讲过，完全二叉树比较适合用数组来存储。用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。因为我们不需要存储左右子节点的指针，单纯地通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。

我画了一个用数组存储堆的例子，你可以先看下。

从图中我们可以看到，数组中下标为 i 的节点的左子节点，就是下标为 i∗2 的节点，右子节点就是下标为 i∗2+1 的节点，父节点就是下标为 i2 的节点。

知道了如何存储一个堆，那我们再来看看，堆上的操作有哪些呢？我罗列了几个非常核心的操作，分别是往堆中插入一个元素和删除堆顶元素。（如果没有特殊说明，我下面都是拿大顶堆来讲解）。

# 1. 往堆中插入一个元素

往堆中插入一个元素后，我们需要继续满足堆的两个特性。

如果我们把新插入的元素放到堆的最后，你可以看我画的这个图，是不是不符合堆的特性了？于是，我们就需要进行调整，让其重新满足堆的特性，这个过程我们起了一个名字，就叫作堆化（heapify）。

堆化实际上有两种，从下往上和从上往下。这里我先讲从下往上的堆化方法。

堆化非常简单，就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换。

我这里画了一张堆化的过程分解图。我们可以让新插入的节点与父节点对比大小。如果不满足子节点小于等于父节点的大小关系，我们就互换两个节点。一直重复这个过程，直到父子节点之间满足刚说的那种大小关系。

我将上面讲的往堆中插入数据的过程，翻译成了代码，你可以结合着一块看。

public class Heap {
  private int[] a; // 数组，从下标 1 开始存储数据
  private int n;  // 堆可以存储的最大数据个数
  private int count; // 堆中已经存储的数据个数

  public Heap(int capacity) {
    a = new int[capacity + 1];
    n = capacity;
    count = 0;
  }

  public void insert(int data) {
    if (count >= n) return; // 堆满了
    ++count;
    a[count] = data;
    int i = count;
    while (i/2 > 0 && a[i] > a[i/2]) { // 自下往上堆化
      swap(a, i, i/2); // swap() 函数作用：交换下标为 i 和 i/2 的两个元素
      i = i/2;
    }
  }
 }

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# 2. 删除堆顶元素

从堆的定义的第二条中，任何节点的值都大于等于（或小于等于）子树节点的值，我们可以发现，堆顶元素存储的就是堆中数据的最大值或者最小值。

假设我们构造的是大顶堆，堆顶元素就是最大的元素。当我们删除堆顶元素之后，就需要把第二大的元素放到堆顶，那第二大元素肯定会出现在左右子节点中。然后我们再迭代地删除第二大节点，以此类推，直到叶子节点被删除。

这里我也画了一个分解图。不过这种方法有点问题，就是最后堆化出来的堆并不满足完全二叉树的特性。

实际上，我们稍微改变一下思路，就可以解决这个问题。你看我画的下面这幅图。我们把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。这就是从上往下的堆化方法。

因为我们移除的是数组中的最后一个元素，而在堆化的过程中，都是交换操作，不会出现数组中的“空洞”，所以这种方法堆化之后的结果，肯定满足完全二叉树的特性。

我把上面的删除过程同样也翻译成了代码，贴在这里，你可以结合着看。

public void removeMax() {
  if (count == 0) return -1; // 堆中没有数据
  a[1] = a[count];
  --count;
  heapify(a, count, 1);
}

private void heapify(int[] a, int n, int i) { // 自上往下堆化
  while (true) {
    int maxPos = i;
    if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
    if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
    if (maxPos == i) break;
    swap(a, i, maxPos);
    i = maxPos;
  }
}

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我们知道，一个包含 n 个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 log2n。堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，也就是 O(logn)。插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以，往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是 O(logn)。

# 如何基于堆实现排序？

前面我们讲过好几种排序算法，我们再来回忆一下，有时间复杂度是 O(n2) 的冒泡排序、插入排序、选择排序，有时间复杂度是 O(nlogn) 的归并排序、快速排序，还有线性排序。

这里我们借助于堆这种数据结构实现的排序算法，就叫作堆排序。这种排序方法的时间复杂度非常稳定，是 O(nlogn)，并且它还是原地排序算法。如此优秀，它是怎么做到的呢？

我们可以把堆排序的过程大致分解成两个大的步骤，建堆和排序。

# 1. 建堆

我们首先将数组原地建成一个堆。所谓“原地”就是，不借助另一个数组，就在原数组上操作。建堆的过程，有两种思路。

第一种是借助我们前面讲的，在堆中插入一个元素的思路。尽管数组中包含 n 个数据，但是我们可以假设，起初堆中只包含一个数据，就是下标为 1 的数据。然后，我们调用前面讲的插入操作，将下标从 2 到 n 的数据依次插入到堆中。这样我们就将包含 n 个数据的数组，组织成了堆。

第二种实现思路，跟第一种截然相反，也是我这里要详细讲的。第一种建堆思路的处理过程是从前往后处理数组数据，并且每个数据插入堆中时，都是从下往上堆化。而第二种实现思路，是从后往前处理数组，并且每个数据都是从上往下堆化。

我举了一个例子，并且画了一个第二种实现思路的建堆分解步骤图，你可以看下。因为叶子节点往下堆化只能自己跟自己比较，所以我们直接从第一个非叶子节点开始，依次堆化就行了

对于程序员来说，看代码可能更好理解一些，所以，我将第二种实现思路翻译成了代码，你可以看下。

private static void buildHeap(int[] a, int n) {
  for (int i = n/2; i >= 1; --i) {
    heapify(a, n, i);
  }
}

private static void heapify(int[] a, int n, int i) {
  while (true) {
    int maxPos = i;
    if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
    if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
    if (maxPos == i) break;
    swap(a, i, maxPos);
    i = maxPos;
  }
}

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你可能已经发现了，在这段代码中，我们对下标从 n2 开始到 1 的数据进行堆化，下标是 n2+1 到 n 的节点是叶子节点，我们不需要堆化。实际上，对于完全二叉树来说，下标从 n2+1 到 n 的节点都是叶子节点。

现在，我们来看，建堆操作的时间复杂度是多少呢？

每个节点堆化的时间复杂度是 O(logn)，那 n2+1 个节点堆化的总时间复杂度是不是就是 O(nlogn) 呢？这个答案虽然也没错，但是这个值还是不够精确。实际上，堆排序的建堆过程的时间复杂度是 O(n)。我带你推导一下。

因为叶子节点不需要堆化，所以需要堆化的节点从倒数第二层开始。每个节点堆化的过程中，需要比较和交换的节点个数，跟这个节点的高度 k 成正比。

我把每一层的节点个数和对应的高度画了出来，你可以看看。我们只需要将每个节点的高度求和，得出的就是建堆的时间复杂度。

我们将每个非叶子节点的高度求和，就是下面这个公式：

这个公式的求解稍微有点技巧，不过我们高中应该都学过：把公式左右都乘以 2，就得到另一个公式 S2。我们将 S2 错位对齐，并且用 S2 减去 S1，可以得到 S。

S 的中间部分是一个等比数列，所以最后可以用等比数列的求和公式来计算，最终的结果就是下面图中画的这个样子。

因为 h=log2n，代入公式 S，就能得到 S=O(n)，所以，建堆的时间复杂度就是 O(n)。

# 2. 排序

建堆结束之后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。我们把它跟最后一个元素交换，那最大元素就放到了下标为 n 的位置。

这个过程有点类似上面讲的“删除堆顶元素”的操作，当堆顶元素移除之后，我们把下标为 n 的元素放到堆顶，然后再通过堆化的方法，将剩下的 n−1 个元素重新构建成堆。堆化完成之后，我们再取堆顶的元素，放到下标是 n−1 的位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩下标为 1 的一个元素，排序工作就完成了。

堆排序的过程，我也翻译成了代码。结合着代码看，你理解起来应该会更加容易。

// n 表示数据的个数，数组 a 中的数据从下标 1 到 n 的位置。
public static void sort(int[] a, int n) {
  buildHeap(a, n);
  int k = n;
  while (k > 1) {
    swap(a, 1, k);
    --k;
    heapify(a, k, 1);
  }
}

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现在，我们再来分析一下堆排序的时间复杂度、空间复杂度以及稳定性。

整个堆排序的过程，都只需要极个别临时存储空间，所以堆排序是原地排序算法。堆排序包括建堆和排序两个操作，建堆过程的时间复杂度是 O(n)，排序过程的时间复杂度是 O(nlogn)，所以，堆排序整体的时间复杂度是 O(nlogn)。

# 解答开篇

现在我们来看开篇的问题，在实际开发中，为什么快速排序要比堆排序性能好？

# 如何理解“堆”

# 如何实现一个堆？

# 1. 往堆中插入一个元素

# 2. 删除堆顶元素

# 如何基于堆实现排序？

# 1. 建堆

# 2. 排序

# 解答开篇

# 内容小结

堆和堆排序 为什么说堆排序没有快速排序快|算法专题

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